Projekty sond międzygwiezdnych o prędkości 0,1 c i napędzie termonuklearnym zakładają zwykle lot w jedną stronę bez hamowania. Pierwszym szczegółowym projektem był DAEDALUS, opracowany przez British Interplanetary Society w 1972 roku.
Możliwe jest jednak wykorzystanie jednej sondy do zbadania układów dwóch gwiazd, jeżeli gwiazdy te dzieli niewielka odległość kątowa na niebie. Występują tu dwa przypadki:
- obydwie gwiazdy leżą w podobnej odległości od Słońca, ich wzajemny dystans jest więc niewielki;
- jedna z gwiazd leży znacznie dalej od drugiej.
W wariancie I należy rozpędzić sondę w kierunku bliższej gwiazdy, następnie odłączyć pierwszy próbnik i dokonać korekty toru lotu sondy udającej się w kierunku drugiej gwiazdy z kolejnym próbnikiem.
W wariancie drugim sonda z próbnikiem leci w kierunku bliższej gwiazdy, po czym zmienia kierunek na drugą gwiazdę. Wariant pierwszy jest bardziej korzystny energetycznie, gdyż kąt poprawki kursowej jest mniejszy. Jego wady natomiast to mniejsza masa aparatury badawczej (dwa oddzielne próbniki) i konieczność zapewnienia pierwszemu próbnikowi własnego zasilania i osłon przeciwmeteorytowych na czas samodzielnego lotu.
W wariancie III próbnik pierwszej gwiazdy jest związany z I stopniem sondy, zaś próbnik drugiej gwiazdy z II stopniem. Po osiągnięciu przez I stopień maksymalnej prędkości ca 0,07 c leci on dalej w kierunku pierwszej gwiazdy, zaś II stopień zmienia kurs i przyspiesza do ~ 0,12 c w kierunku drugiej gwiazdy. Większy zapas paliwa umożliwia znaczniejszą poprawkę kursu, jednak czas lotu ku pierwszej gwieździe jest w tym wariancie zdecydowanie dłuższy.
Następujące pary gwiazd wybrano dla dokonania dalszych obliczeń:
- wariant I – Proxima i α Centauri, Luyten 726-8 i τ Ceti, Procjon i BD+5°1668, Ross 248 i Groombridge 34, CoD-46°11540 i CoD-44°11909;
- wariant II – Procjon i Ross 882, Gwiazda Barnarda i 70 Ophiuchi;
- wariant III – Proxima i a Centauri, Gw. Barnarda i 70 Oph.
Odległość kątową χ między dwiema gwiazdami o współrzędnych (α1, δ1) i (α2, δ2), gdzie:
- α – rektascencja,
- δ – deklinacja,
określa wzór:
χ = sinδ1*sinδ2 + cosδ1*cosδ2*cos(α2 – α1) [1]
Jeżeli odległości gwiazd od Słońca oznaczymy odpowiednio x1, x2 to odległość pomiędzy nimi wyniesie x:
x = (x12 + x22 + x1 * x2 cosχ)1/2 [2]
Oznaczmy kąt poprawki kursowej (mierzonej w układzie miejsca startu) przez θ, zaś prędkość przed poprawką przez v. Wielkość poprawki w układzie miejsca startu (pod kątem 90° do kierunku ruchu) wynosi:
ΔV = v * tgθ [3]
i stąd poprawka w układzie rakiety:
Δv = v * tgθ * [1 – (v/c)2]-1/2 [4]
Prędkość wypadkowa po poprawce:
V = (v2 + ΔV2)1/2 = v * (1 + tg2θ) [5]
TABELA 1. Pary bliskich gwiazd. Dane wg Dworak {2}.
Nazwa gwiazdy | Odległość x1, x2 , l.św. | α1950 | δ1950 | Odległość między gwiazdami | |
kątowa χ | x, l. św. | ||||
Proxima α Centauri | 4,22 4,35 | 14h 26,3m 14h 36,2m | -62°28′ -60°38′ | 2°11′ | 0,21 |
Luyten 726-8 τ Ceti | 8,94 11,95 | 1h 36,4m 1h 41,7m | -18°13′ -16°12′ | 2°23′ | 3,04 |
ProcjonBD +5°1668 | 11,36 12,64 | 7h 36,7m 7h 24,7m | +5°21′ +5°23′ | 2°59′ | 1,43 |
Ross 248 Groombridge 34 | 10,29 11,57 | 23h 39,4m 0h 15,5m | +43°55′ +43°44¨ | 6°31′ | 1,78 |
CoD-46°11540 CoD-44°11909 | 15,10 15,31 | 17h 24,9m 17h 33,5m | -46°51′ -44°17′ | 3°12′ | 0,89 |
Procjon Ross 882 | 11,36 18,53 | 7h 36,7m 7h 42,1m | +5°21′ +3°41′ | 2°09′ | 7,19 |
Gw. Barnarda 70 Ophiuchi | 5,91 16,73 | 17h 55,4m 18h 03m | +4°33′ +2°’ | 2°47′ | 10,83 |
Wariant I.
Przyjmujemy dla sondy międzygwiezdnej dane takie, jak w projekcie Dedal (wg Subotowicz {1}):
- prędkość maksymalna sondy 0,122 c. Zakładamy, że prędkość podróżna wyniesie v = 0,11 c, zaś na poprawki kursowe pozostanie 0,012 c;
- czas przyspieszania sondy wynosi ta = 3,81 lat;
- droga przyspieszania sondy xa = 0,212 l. św.
Objaśnienia:
G1, G2 – gwiazdy,
S – Słońce,
A – miejsce wyłączenia silników sondy,
x1 = |G1S|, x2 = |G2S|, x3 = |AG1|, x = |G1G2| , xa =|AS|.
Sonda leci w kierunku bliższej gwiazdy G1 i po osiągnięciu prędkości v w czasie ta, na drodze xa – odczepia I próbnik, który osiąga G1 w czasie:
t 1 = (x1 – xa)/v + ta [6]
Sonda zmienia kurs o kąt θ1 i leci w kierunku dalszej gwiazdy G2 odległej o:
x3 = (xa2 + x22 + xax2cosχ)1/2 [7]
Zmianę kursu θ1 obliczamy z wzoru:
sinθ1 = (x2/x3)sinχ [8]
Ziemski czas lotu do G2 w wariancie I:
t2 = ta + x3/v [9]
TABELA 2. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie I.
Gwiazda | Poprawka θ1 | Poprawka v/c | Prędkość po poprawce V/c | Czas lotu t, lat |
Proxima α Centauri | 2°18′ | 0,004 45 | 0,110 09 | 40,25 41,40 |
Luyten 726-8 τ Ceti | 2°26′ | 0,004 70 | 0,110 10 | 83,16 110,42 |
Procjon BD+5°1668 | 3°02′ | 0,005 86 | 0,110 15 | 105,16 116,63 |
Ross 248 Groombridge 34 | 6°38′ | 0,012 88 | 0,110 74 | 95,43 106,38 |
CoD-46°11540 CoD-44°11909 | 3°15′ | 0,006 27 | 0,110 16 | 139,16 140,84 |
Pozostałe po zmianie kursu paliwo można wykorzystać do niewielkiej zmiany prędkości w końcowej fazie lotu. Zakładając maksymalną poprawkę Δv = 0,012 c (przy v = 0,11 c), otrzymujemy największy kąt poprawki kursowej qmax = 6°11′. Jeżeli wymagany jest większy kąt zmiany kursu, to trzeba zmniejszyć masę próbnika, a powiększyć zapas paliwa II stopnia.
Zależność poprawki kursowej i prędkości po poprawce od kąta zmiany kursu przedstawia tab. 3:
Tabela 3.
Kąt poprawki θ | Poprawka (w układzie rakiety) Δv/c | Prędkość po poprawce (w układzie miejsca startu) V/c |
1° | 0,001 932 | 0,110 017 |
2° | 0,003 865 | 0,110 067 |
3° | 0.005 800 | 0,110 151 |
4° | 0,007 740 | 0,110 269 |
5° | 0,009 683 | 0,110 420 |
6° | 0,011 632 | 0,110 606 |
7° | 0,013 588 | 0,110 826 |
8° | 0,015 554 | 0,111 081 |
9° | 0,017 528 | 0,111 371 |
10° | 0,019 515 | 0,111 697 |
Wariant II.
Sonda leci w kierunku G1 i osiąga gwiazdę po czasie t1 (zob. [6]). Następnie zmienia kierunek o q2 i leci w kierunku G2 z prędkością v. Trasa lotu wynosi x (zob. [2]).
sinθ2 = (x2/x) * sinχ [10]
Czas lotu do G2 w wariancie II wynosi:
t2 = t1 + (x/V) [11]
Tabela 4. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie II.
Gwiazda | Kąt poprawki θ2 | Poprawka Δv/c | Prędkość po poprawce V/c | Czas lotu t, lat |
Procjon Ross 882 | 5°12′ | 0,010 08 | 0,110 46 | 105,16 170,25 |
Barnarda 70 Oph | 4°18′ | 0,008 32 | 0,110 31 | 55,61 153,79 |
Z uwagi na to, że odległości gwiazd znane są z dokładnością rzędu 1% (w najlepszym razie) – nie uwzględniono w obliczeniach ruchów własnych gwiazd, ani drogi i czasu trwania poprawki kursowej.
Wariant III.
W tym wariancie obydwa próbniki nie są autonomiczne, tylko poruszają się razem z odpowiednimi stopniami sondy. Uwzględniając przyszły postęp w dziedzinie miniaturyzacji możemy założyć, iż masy próbników będą trzykrotnie mniejsze (po 150 ton) i analogicznie, cała sonda będzie miała masę ca 18 000 Mg:
II stopień:
- ładunek (próbnik II) – 150 Mg
- masa konstrukcji – 180 Mg
- masa paliwa – 1300 Mg
Stosunek mas: R2 = 4,9394
I stopień:
- masa użyteczna (razem) – 1630 Mg
- próbnik I – 150 Mg
- masa konstrukcji – 570 Mg
- masa paliwa – 15650 Mg
Stosunek mas: R1 = 7,6596
Masa łącznie: 18000 Mg.
Zakładamy identyczną dla obydwu stopni prędkość wylotową w = c/30 = 9993 km/s. Masa konstrukcji i paliwa jest proporcjonalna do zakładanych w projekcie Dedal. Prędkości stopni obliczamy z wzoru Ackereta:
v/c = (R2w/c – 1) : (R2w/c + 1) [12]
, gdzie R – stosunek mas.
Stąd prędkość I stopnia v1 = 0,067 76 c = 20 314 km/s, a prędkość II stopnia v2 = 0,050 89 c = 15 256 km/s.
Maksymalna prędkość dwustopniowej sondy, zgodnie z relatywistycznym wzorem na dodawanie prędkości wynosi:
V = (v1 + v2) : {1 + (v1v2/c2} [13]
Wynosi Vmax = 0,118 24, c = 35 448 km/s i jest mniejsza od sumy v1 + v2 o 122 km/s.
Niech w układzie I stopnia, który osiągnął prędkość v1, stopień II ma prędkość v2 pod kątem θ’ do kierunku I stopnia. Prędkość v2 ma składowe vx (zgodną z kierunkiem ruchu I stopnia) i vy (poprzeczną). Prędkość wypadkowa V ma składowe Vx i Vy, zaś z kierunkiem ruchu I stopnia tworzy kąt . Poniższe wzory przedstawiają zależności pomiędzy wymienionymi wielkościami:
Vx = (v1 + vx) : {1 + (v1vx/c2)}
Vy = vy[1 + (v1vx/c2)]-1 * [1 – (v1/c)2]1/2 [14]
tg θ’ = vy/vx tg θ = Vy/Vx = [vy/(v1 + vx)] * [1 – (v1/c)2]1/2 [15]
vx = v2 * cos θ’
vy = v2 * sin θ’ [16]
Vx = V * cos θ
Vy = V * sin θ [17]
Podstawiając do wzorów [14] wartości vx i vy z wzorów [16] otrzymujemy:
Vx = (v1+v2cosθ’) * {1+ [v1v2cosθ’/c2]}-1
Vy = v2sinθ’ * [1+(v1v2cosθ’/c2)]-1 * [1-(v1/c)2]1/2 [18]
Wzór na tgq przekształcamy do postaci:
tgθ = v2sinθ’[1 + (v1v2cosθ’/c2)]-1 * [1 – (v1/c)2]1/2 [19]
Wzór odwrotny ma postać:
tg(θ’/2) = [1 – (v1/c)2]1/2 * [(v1/v2) – 1]-1 * {ctgθ – [ctg2θ – (v12/v22 – 1) * (1 – v12/c2)-1]} [20].
Tabela 5 zawiera wartości V i θ, w zależności od θ’. Dla niewielkich kątów θ’/θ ~ 0,4275 – 0,4280.
Czas przyspieszania I stopnia wynosi tI = 2,05 lat, a droga przyspieszania xI = 0,049 l. św., analogicznie dla drugiego stopnia tII = 1,76 lat i xII = 0,163 l. św. (jak dla Dedala).
Tak samo, jak w wariancie I sonda leci w kierunku G1, a po wyłączeniu I stopnia, II stopień zmienia kierunek o kąt θ i przyspiesza dalej w kierunku G2. Obydwa stopnie niosą próbniki.
Tabela 5.
v1 = 0,067 76 c; v2 = 0,050 89 c
θ’ | V/c | θ |
0° | 0,118 242 | 0° |
30′ | 0,118 240 | 12,8′ |
1° | 0,118 238 | 25,7′ |
1°30′ | 0,118 232 | 39,5′ |
2° | 0,118 224 | 51,3′ |
2°30′ | 0,118 215 | 1°04,2′ |
3° | 0,118 202 | 1°17,0′ |
3°30′ | 0,118 188 | 1°29,9′ |
4° | 0,118 172 | 1°42,7′ |
4°30′ | 0,118 153 | 1°55,5′ |
5° | 0,118 132 | 2°08,4′ |
5°30′ | 0,118 110 | 2°21,2′ |
6° | 0,118 084 | 2°34,0′ |
6°30′ | 0,118 058 | 2°46,9′ |
7° | 0,118 028 | 2°59,7′ |
7°30′ | 0,117 996 | 3°12,5′ |
8° | 0,117 962 | 3°25,3′ |
8°30′ | 0,117 927 | 3°38,2′ |
9° | 0,117 883 | 3°51,0′ |
9°30′ | 0,117 848 | 4°03,8′ |
10° | 0,117 806 | 4°16,7′ |
11° | 0,117 714 | 4°42,3′ |
12° | 0,117 614 | 5°07,9′ |
13° | 0,117 505 | 5°33,5′ |
14° | 0,117 387 | 5°59,2′ |
15° | 0,117 261 | 6°24,8′ |
Czas ziemski lotu próbnika pierwszego:
t1 = (x1 – xI) / v1 + tI [21]
czaś ziemski czas lotu próbnika II:
t2 = tI + tII + (x3-xII) / v [22]
Podobnie jak w wariancie I, drogę x3 obliczamy z wzoru:
x3 = (xI2 + x22 – 2xIx2cosχ)1/2 [23]
, zaś sinθ = (x2/x3) * sinχ (analogicznie do [8]).
Obliczenia przeprowadzono dla dwóch przypadków.
Tabela 6. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie III.
Gwiazda | Kąt poprawki θ | Prędkość max. V/c | Czas lotu t, lat |
Proxima α Centauri | 2°12,5′ | 0,118 13 | 63,61 38,84 |
Barnarda 70 Ophiuchi | 2°47,5′ | 0,118 06 | 88,55 144,97 |
Można wyobrazić sobie wariant IV, w którym dwustopniowa sonda wynosiłaby próbniki do trzech gwiazd, położonych blisko siebie na niebie. Przykładem takich gwiazd są: Procjon (α CMi), BD+5°1668 i Ross 882 (YZ CMi). Początkowy etap przyspieszania odbywałby się w kierunku gwiazdy BD+5°1668, ku której zdążałby dalej pierwszy stopień sondy z próbnikiem. Drugi stopień zmieniłby kurs na Procjona i odczepiłby autonomiczny próbnik, który kontynuowałby lot ku α CMi, sam zaś zmieniłby jeszcze raz kurs i poleciałby w kierunku YZ CMi z trzecim próbnikiem. Oczywiście, uzyskana prędkość maksymalna byłaby mniejsza niż w wariancie II, z uwagi na dwie poprawki kursowe.
Uzupełnienie.
Innym możliwym wariantem misji jednej sondy do dwóch gwiazd, jest zmiana kursu w polu grawitacyjnym gwiazdy. Wybrana gwiazda musi mieć mały promień i jasność, oraz znaczną masę. Spośród pobliskich gwiazd warunki te spełniają białe karły Syriusz B (odległość 8,65 l. św.) i Procjon B (11,36 l. św.).
W przybliżeniu, zmiana kąta toru lotu po przejściu w pobliżu ciała centralnego o masie M w odległości r wynosi:
θ = π – 2arccos [(rv2/GM) + 1]-1 ~ 2[(rv2/GM) + 1]-1 [24]
, gdzie v – prędkość w nieskończoności
Stąd dla małych kątów θ:
r = (GM/v2)*[(2/θ) – 1] ~ 2GM/v2θ [25]
Ilość energii na jednostkę powierzchni sondy (E), przekazanej w czasie zbliżania się i oddalania, przy upraszczającym założeniu stałej prędkości i prostoliniowości toru, wynosi:
E = L/2πrv [26]
gdzie:
L – moc promieniowania gwiazdy,
R – promień gwiazdy,
T – temperatura powierzchniowa gwiazdy,
σ – stała Stefana – Boltzmanna,
L = 4πσR2T4 [27]
Stąd:
E ~ Lvθ/4πGM = R2sT4θ/GM [28]
Widoczna jest silna zależność przekazanej ilości ciepła od promienia gwiazdy. Fizycznie możliwe są tory lotu, dla których r>R.
Należy sądzić, że postęp w dziedzinie tworzenia powłok refleksyjnych (obecnie otrzymuje się już powłoki odbijające ponad 99% światła widzialnego), umożliwi stworzenie takich osłon, że sonda będzie mogła przelecieć z prędkością kilku – kilkunastu tysięcy kilometrów na sekundę w odległości kilku promieni od powierzchni białego karła. Zmiana kursu może wynieść do kilku stopni, co umożliwi skierowanie sondy ku innej gwieździe.
{jathumbnail off}Szczegółowe obliczenia wymagać będą uwzględnienia wpływu efektów ogólnej teorii względności na tor sondy, a także związku efektu Dopplera z ilością energii przekazanej sondzie.
Piotr Podkowicz
Literatura.
- Subotowicz M., W poszukiwaniu życia rozumnego we Wszechświecie, UMCS, Lublin 1995, s. 220 – 225.
- Dworak Z., Z astronomią za pan brat, Iskry, Warszawa 1989, tab. X.