Misje sond bezzałogowych do dwóch gwiazd

0

Projekty sond międzygwiezdnych o prędkości 0,1 c i napędzie termonuklearnym zakładają zwykle lot w jedną stronę bez hamowania. Pierwszym szczegółowym projektem był DAEDALUS, opracowany przez British Interplanetary Society w 1972 roku.

Możliwe jest jednak wykorzystanie jednej sondy do zbadania układów dwóch gwiazd, jeżeli gwiazdy te dzieli niewielka odległość kątowa na niebie. Występują tu dwa przypadki:

  1. obydwie gwiazdy leżą w podobnej odległości od Słońca, ich wzajemny dystans jest więc niewielki;
  2. jedna z gwiazd leży znacznie dalej od drugiej.

W wariancie I należy rozpędzić sondę w kierunku bliższej gwiazdy, następnie odłączyć pierwszy próbnik i dokonać korekty toru lotu sondy udającej się w kierunku drugiej gwiazdy z kolejnym próbnikiem.

W wariancie drugim sonda z próbnikiem leci w kierunku bliższej gwiazdy, po czym zmienia kierunek na drugą gwiazdę. Wariant pierwszy jest bardziej korzystny energetycznie, gdyż kąt poprawki kursowej jest mniejszy. Jego wady natomiast to mniejsza masa aparatury badawczej (dwa oddzielne próbniki) i konieczność zapewnienia pierwszemu próbnikowi własnego zasilania i osłon przeciwmeteorytowych na czas samodzielnego lotu.

W wariancie III próbnik pierwszej gwiazdy jest związany z I stopniem sondy, zaś próbnik drugiej gwiazdy z II stopniem. Po osiągnięciu przez I stopień maksymalnej prędkości ca 0,07 c leci on dalej w kierunku pierwszej gwiazdy, zaś II stopień zmienia kurs i przyspiesza do ~ 0,12 c w kierunku drugiej gwiazdy. Większy zapas paliwa umożliwia znaczniejszą poprawkę kursu, jednak czas lotu ku pierwszej gwieździe jest w tym wariancie zdecydowanie dłuższy.

Następujące pary gwiazd wybrano dla dokonania dalszych obliczeń:

  1. wariant I – Proxima i α Centauri, Luyten 726-8 i τ Ceti, Procjon i BD+5°1668, Ross 248 i Groombridge 34, CoD-46°11540 i CoD-44°11909;
  2. wariant II – Procjon i Ross 882, Gwiazda Barnarda i 70 Ophiuchi;
  3. wariant III – Proxima i a Centauri, Gw. Barnarda i 70 Oph.

Odległość kątową χ między dwiema gwiazdami o współrzędnych (α1, δ1) i (α2, δ2), gdzie:

  • α – rektascencja,
  • δ – deklinacja,

określa wzór:

χ = sinδ1*sinδ2 + cosδ1*cosδ2*cos(α2 – α1) [1]

Jeżeli odległości gwiazd od Słońca oznaczymy odpowiednio x1, x2 to odległość pomiędzy nimi wyniesie x:

x = (x12 + x22 + x1 * x2 cosχ)1/2 [2]

Oznaczmy kąt poprawki kursowej (mierzonej w układzie miejsca startu) przez θ, zaś prędkość przed poprawką przez v. Wielkość poprawki w układzie miejsca startu (pod kątem 90° do kierunku ruchu) wynosi:

ΔV = v * tgθ [3]

i stąd poprawka w układzie rakiety:

Δv = v * tgθ * [1 – (v/c)2]-1/2 [4]

Prędkość wypadkowa po poprawce:

V = (v2 + ΔV2)1/2 = v * (1 + tg2θ) [5]

 

TABELA 1. Pary bliskich gwiazd. Dane wg Dworak {2}.

Nazwa gwiazdyOdległość
x1, x2 , l.św.
α1950δ1950Odległość między gwiazdami
kątowa χx, l. św.
Proxima
α Centauri
4,22
4,35
14h 26,3m
14h 36,2m
-62°28′
-60°38′
2°11′0,21 
Luyten 726-8
τ Ceti
8,94
11,95
1h 36,4m
1h 41,7m
-18°13′
-16°12′
2°23′3,04
ProcjonBD
+5°1668
11,36
12,64
7h 36,7m
7h 24,7m
+5°21′
+5°23′
2°59′1,43
Ross 248
Groombridge 34
10,29
11,57
23h 39,4m
0h 15,5m
+43°55′
+43°44¨
6°31′1,78
CoD-46°11540
CoD-44°11909
15,10
15,31
17h 24,9m
17h 33,5m
-46°51′
-44°17′
3°12′0,89
Procjon
Ross 882
11,36
18,53
7h 36,7m
7h 42,1m
+5°21′
+3°41′
2°09′7,19
Gw. Barnarda
70 Ophiuchi
5,91
16,73
17h 55,4m
18h 03m
+4°33′
+2°’
2°47′10,83

Wariant I.

    Przyjmujemy dla sondy międzygwiezdnej dane takie, jak w projekcie Dedal (wg  Subotowicz {1}):

    • prędkość maksymalna sondy 0,122 c. Zakładamy, że prędkość podróżna wyniesie v = 0,11 c, zaś na poprawki kursowe pozostanie 0,012 c;
    • czas przyspieszania sondy wynosi ta = 3,81 lat;
    • droga przyspieszania sondy xa = 0,212 l. św.

    Objaśnienia:
    G1, G2 – gwiazdy,
    S – Słońce,
    A – miejsce wyłączenia silników sondy,
    x1 = |G1S|,  x2 = |G2S|, x3 = |AG1|, x = |G1G2| , xa =|AS|.

    Sonda leci w kierunku bliższej gwiazdy G1 i po osiągnięciu prędkości v w czasie ta, na drodze xa – odczepia I próbnik, który osiąga G1 w czasie:

    t 1 = (x1 – xa)/v + ta [6]

    Sonda zmienia kurs o kąt θ1 i leci w kierunku dalszej gwiazdy G2 odległej o:

    x3 = (xa2 + x22 + xax2cosχ)1/2 [7]

    Zmianę kursu θ1 obliczamy z wzoru:

    sinθ1 = (x2/x3)sinχ [8]

    Ziemski czas lotu do G2 w wariancie I:

    t2 = ta + x3/v [9]

     

    TABELA 2. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie I.

    GwiazdaPoprawka
    θ1
    Poprawka
    v/c
    Prędkość po
    poprawce V/c
    Czas lotu
    t, lat
    Proxima
    α Centauri
    2°18′0,004 450,110 0940,25
    41,40
    Luyten 726-8
    τ Ceti
    2°26′0,004 700,110 1083,16
    110,42
    Procjon
    BD+5°1668
    3°02′0,005 860,110 15105,16
    116,63
    Ross 248
    Groombridge 34
    6°38′0,012 880,110 7495,43
    106,38
    CoD-46°11540
    CoD-44°11909
    3°15′0,006 270,110 16139,16
    140,84

    Pozostałe po zmianie kursu paliwo można wykorzystać do niewielkiej zmiany prędkości w końcowej fazie lotu. Zakładając maksymalną poprawkę Δv = 0,012 c (przy v = 0,11 c), otrzymujemy największy kąt poprawki kursowej qmax = 6°11′. Jeżeli wymagany jest większy kąt zmiany kursu, to trzeba zmniejszyć masę próbnika, a powiększyć zapas paliwa II stopnia.

    Zależność poprawki kursowej i prędkości po poprawce od kąta zmiany kursu przedstawia tab. 3:

     

    Tabela 3.

    Kąt poprawki
    θ
    Poprawka
    (w układzie rakiety)
    Δv/c
    Prędkość po poprawce
    (w układzie miejsca startu)
    V/c
    0,001 9320,110 017
    0,003 8650,110 067
    0.005 8000,110 151
    0,007 7400,110 269
    0,009 6830,110 420
    0,011 6320,110 606
    0,013 5880,110 826
    0,015 5540,111 081
    0,017 5280,111 371
    10°0,019 5150,111 697

    Wariant II.

      Sonda leci w kierunku G1 i osiąga gwiazdę po czasie t1 (zob. [6]). Następnie zmienia kierunek o q2 i leci w kierunku G2 z prędkością v. Trasa lotu wynosi x (zob. [2]).

      Rysunek przedstawiający wariant II misji międzygwiezdnej

      sinθ2 = (x2/x) * sinχ [10]

      Czas lotu do G2 w wariancie II wynosi:

      t2 = t1 + (x/V) [11]

       

      Tabela 4. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie II.

      GwiazdaKąt poprawki
      θ2
      Poprawka
      Δv/c
      Prędkość po
      poprawce V/c
      Czas lotu
      t,  lat
      Procjon
      Ross 882
      5°12′0,010 080,110 46105,16
      170,25
      Barnarda
      70 Oph
      4°18′0,008 320,110 3155,61
      153,79

      Z uwagi na to, że odległości gwiazd znane są z dokładnością rzędu 1% (w najlepszym razie) – nie uwzględniono w obliczeniach ruchów własnych gwiazd, ani drogi i czasu trwania poprawki kursowej.

      Wariant III.

        W tym wariancie obydwa próbniki nie są autonomiczne, tylko poruszają się razem z odpowiednimi stopniami sondy. Uwzględniając przyszły postęp w dziedzinie miniaturyzacji możemy założyć, iż masy próbników będą trzykrotnie mniejsze (po 150 ton) i analogicznie, cała sonda będzie miała masę ca 18 000 Mg:

        II stopień:

        1. ładunek (próbnik II) – 150 Mg
        2. masa konstrukcji – 180 Mg
        3. masa paliwa – 1300 Mg

        Stosunek mas: R2 = 4,9394

        I stopień:

        1. masa użyteczna (razem) – 1630 Mg
        2. próbnik I – 150 Mg
        3. masa konstrukcji – 570 Mg
        4. masa paliwa – 15650 Mg

        Stosunek mas: R1 = 7,6596

        Masa łącznie: 18000 Mg.

        Zakładamy identyczną dla obydwu stopni prędkość wylotową w = c/30 = 9993 km/s. Masa konstrukcji i paliwa jest proporcjonalna do zakładanych w projekcie Dedal. Prędkości stopni obliczamy z wzoru Ackereta:

        v/c = (R2w/c – 1) : (R2w/c + 1)  [12]

        , gdzie R – stosunek mas.

        Stąd prędkość I  stopnia v1 = 0,067 76 c = 20 314 km/s, a prędkość II stopnia v2 = 0,050 89 c = 15 256 km/s.

        Maksymalna prędkość dwustopniowej sondy, zgodnie z relatywistycznym wzorem na dodawanie prędkości wynosi:

        V = (v1 + v2) : {1 + (v1v2/c2} [13]

        Wynosi Vmax = 0,118 24, c = 35 448 km/s i jest mniejsza od sumy v1 + v2 o 122 km/s.

        Niech w układzie I stopnia, który osiągnął prędkość v1, stopień II ma prędkość v2 pod kątem θ’ do kierunku I stopnia. Prędkość v2 ma składowe vx (zgodną z kierunkiem ruchu I stopnia) i vy (poprzeczną). Prędkość wypadkowa V ma składowe Vx i Vy, zaś z kierunkiem ruchu I stopnia tworzy kąt . Poniższe wzory przedstawiają zależności pomiędzy wymienionymi wielkościami:

        Vx = (v1 + vx) : {1 + (v1vx/c2)}
        Vy = vy[1 + (v1vx/c2)]-1 * [1 – (v1/c)2]1/2 [14]

        tg θ’ = vy/vx tg θ = Vy/Vx = [vy/(v1 + vx)] * [1 – (v1/c)2]1/2 [15]

        vx = v2 * cos θ’
        vy = v2 * sin θ’ [16]

        Vx = V * cos θ
        Vy = V * sin θ [17]

        Podstawiając do wzorów [14] wartości vx i vy z wzorów [16] otrzymujemy:

        Vx = (v1+v2cosθ’) * {1+ [v1v2cosθ’/c2]}-1
        Vy = v2sinθ’ * [1+(v1v2cosθ’/c2)]-1 * [1-(v1/c)2]1/2 [18]

        Wzór na tgq przekształcamy do postaci:

        tgθ = v2sinθ’[1 + (v1v2cosθ’/c2)]-1 * [1 – (v1/c)2]1/2 [19]

        Wzór odwrotny ma postać:

        tg(θ’/2) = [1 – (v1/c)2]1/2 * [(v1/v2) – 1]-1 * {ctgθ – [ctg2θ – (v12/v22 – 1) * (1 – v12/c2)-1]} [20].

        Tabela 5 zawiera wartości V i θ, w zależności od θ’. Dla niewielkich kątów θ’/θ ~ 0,4275 – 0,4280.

        Czas przyspieszania I stopnia wynosi tI = 2,05 lat, a droga przyspieszania xI = 0,049 l. św., analogicznie dla drugiego stopnia tII = 1,76 lat i xII = 0,163 l. św. (jak dla Dedala).

        Tak samo, jak w wariancie I sonda leci w kierunku G1, a po wyłączeniu I stopnia, II stopień zmienia kierunek o kąt θ i przyspiesza dalej w kierunku G2. Obydwa stopnie niosą próbniki.

        Rysunek przedstawiający wariant III misji międzygwiezdnej

         

        Tabela 5.
        v1 = 0,067 76 c; v2 = 0,050 89 c

        θ’V/cθ
        0,118 242
        30′0,118 24012,8′
        0,118 23825,7′
        1°30′0,118 23239,5′
        0,118 22451,3′
        2°30′0,118 2151°04,2′
        0,118 2021°17,0′
        3°30′0,118 1881°29,9′
        0,118 1721°42,7′
        4°30′0,118 1531°55,5′
        0,118 1322°08,4′
        5°30′0,118 1102°21,2′
        0,118 0842°34,0′
        6°30′0,118 0582°46,9′
        0,118 0282°59,7′
        7°30′0,117 9963°12,5′
        0,117 9623°25,3′
        8°30′0,117 9273°38,2′
        0,117 8833°51,0′
        9°30′0,117 8484°03,8′
        10°0,117 8064°16,7′
        11°0,117 7144°42,3′
        12°0,117 6145°07,9′
        13°0,117 5055°33,5′
        14°0,117 3875°59,2′
        15°0,117 2616°24,8′

        Czas ziemski lotu próbnika pierwszego:

        t1 = (x1 – xI) / v1 + tI [21]

        czaś ziemski czas lotu próbnika II:

        t2 = tI + tII + (x3-xII) / v [22]

        Podobnie jak w wariancie I, drogę x3 obliczamy z wzoru:

        x3 = (xI2 + x22 – 2xIx2cosχ)1/2 [23]

        , zaś sinθ = (x2/x3) * sinχ (analogicznie do [8]).

        Obliczenia przeprowadzono dla dwóch przypadków.

         

        Tabela 6. Poprawki kursowe i czas lotu w wariancie III.

        GwiazdaKąt poprawki θPrędkość max. V/cCzas lotu t, lat
        Proxima
        α Centauri
        2°12,5′0,118 1363,61
        38,84
        Barnarda
        70 Ophiuchi
        2°47,5′0,118 0688,55
        144,97

         

        Można wyobrazić sobie wariant IV, w którym dwustopniowa sonda wynosiłaby próbniki do trzech gwiazd, położonych blisko siebie na niebie. Przykładem takich gwiazd są: Procjon (α CMi), BD+5°1668 i Ross 882 (YZ CMi). Początkowy etap przyspieszania odbywałby się w kierunku gwiazdy BD+5°1668, ku której zdążałby dalej pierwszy stopień sondy z próbnikiem. Drugi stopień zmieniłby kurs na Procjona i odczepiłby autonomiczny próbnik, który kontynuowałby lot ku α CMi, sam zaś zmieniłby jeszcze raz kurs i poleciałby w kierunku YZ CMi  z trzecim próbnikiem. Oczywiście, uzyskana prędkość maksymalna byłaby mniejsza niż w wariancie II, z uwagi na dwie poprawki kursowe.

        Uzupełnienie.

        Innym możliwym wariantem misji jednej sondy do dwóch gwiazd, jest zmiana kursu w polu grawitacyjnym gwiazdy. Wybrana gwiazda musi mieć mały promień i jasność, oraz znaczną masę. Spośród pobliskich gwiazd warunki te spełniają białe karły Syriusz B (odległość 8,65 l. św.) i Procjon B (11,36 l. św.).

        W przybliżeniu, zmiana kąta toru lotu po przejściu w pobliżu ciała centralnego o masie M w odległości r wynosi:

        θ = π – 2arccos [(rv2/GM) + 1]-1 ~ 2[(rv2/GM) + 1]-1 [24]
        , gdzie v – prędkość w nieskończoności

        Stąd dla małych kątów θ:

        r = (GM/v2)*[(2/θ) – 1] ~ 2GM/v2θ [25]

        Ilość energii na jednostkę powierzchni sondy (E), przekazanej w czasie zbliżania się i oddalania, przy upraszczającym założeniu stałej prędkości i prostoliniowości toru, wynosi:

        E = L/2πrv [26]

        gdzie:
        L – moc promieniowania gwiazdy,
        R – promień gwiazdy,
        T – temperatura powierzchniowa gwiazdy,
        σ – stała Stefana – Boltzmanna,

        L = 4πσR2T4 [27]

        Stąd:

        E ~ Lvθ/4πGM = R2sT4θ/GM [28]

        Widoczna jest silna zależność przekazanej ilości ciepła od promienia gwiazdy. Fizycznie możliwe są tory lotu, dla których r>R.

        Należy sądzić, że postęp w dziedzinie tworzenia powłok refleksyjnych (obecnie otrzymuje się już powłoki odbijające ponad 99% światła widzialnego), umożliwi stworzenie takich osłon, że sonda będzie mogła przelecieć z prędkością kilku – kilkunastu tysięcy kilometrów na sekundę w odległości kilku promieni od powierzchni białego karła. Zmiana kursu może wynieść do kilku stopni, co umożliwi skierowanie sondy ku innej gwieździe.

        {jathumbnail off}Szczegółowe obliczenia wymagać będą uwzględnienia wpływu efektów ogólnej teorii względności na tor sondy, a także związku efektu Dopplera z ilością energii przekazanej sondzie.

        Piotr Podkowicz

        Literatura.

        1. Subotowicz M., W poszukiwaniu życia rozumnego we Wszechświecie, UMCS, Lublin 1995, s. 220 – 225.
        2. Dworak Z., Z astronomią za pan brat, Iskry, Warszawa 1989, tab. X.
        Share.

        Comments are closed.